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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\def\K{\mathbb{K}}

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\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}


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\usepackage{todonotes}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 4 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~8 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt}
	
	\textbf{Definition} \\
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $P$ ein Primideal von $R$, dann bezeichnet $$\mbox{ht}(P):=\sup\{n\in\N_0 \mid \exists P_0,\ldots,P_n \mbox{\ Primideale\ von\ } R \colon P_0\subsetneq P_1 \subsetneq \ldots \subsetneq P_n=P\}\in\N_0\cup\{\infty\}$$ die \textit{Höhe von} $P$.
	\\
	
	\textbf{Krullscher Hauptidealsatz} \\
	Sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich, $x\in R\backslash\{0\}$ und $P$ ein Primideal das minimal bezüglich $x\in P$ ist, dann gilt $\mbox{ht}(P)\leq 1$.
	\\
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt}
	\vspace*{0.5cm}
	
	\textbf{Aufgabe 4.1} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Leiten Sie für endlich erzeugte abelsche Gruppen ein Analogon zu dem \textit{Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über HIR} (Satz 6.8) her.
		\item Formulieren und begründen Sie eine Präzisierung Ihrer Formulierung aus (a) für endliche abelsche Gruppen.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 4.2} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Erstellen Sie eine vollständige Liste aller $\Z$-Moduln der Mächtigkeit 180 bis auf Isomorphie.
		\item Erstellen Sie eine vollständige Liste aller abelschen Gruppen der Mächtigkeit 1350 bis auf Isomorphie.
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 4.3} \hfill 	\textbf{[1+1+2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein noetherscher Integritätsbereich.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass jede Nicht-Einheit $a\in R\backslash\{0\}$ ein Produkt irreduzibler Elemente von $R$ ist.
		\item Beweisen Sie, dass falls jedes irreduzible Element von $R$ ein Primelement ist, dann $R$ schon ein faktorieller Ring ist.
		\item Zeigen Sie, dass $R$ genau dann faktoriell ist, wenn jedes Primideal von $R$ der Höhe 1 ein Hauptideal ist. \\
		\emph{Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis den Krullschen Hauptidealsatz verwenden.}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 4.4*} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Erarbeiten Sie ein Beispiel eines noetherschen faktoriellen Integritätsbereiches der kein Hauptidealbereich ist.
		\item Erarbeiten Sie ein Beispiel eines faktoriellen Integritätsbereiches der nicht noethersch ist.
	\end{enumerate}
	\textbf{Lösung:} 
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 20.\ Mai 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}